Kosten- und Leistungsrechnung: Kostenfunktionen

Eine Kostenfunktion zeigt, wie sich die Kosten eines Unternehmens verändern, wenn sich die Produktions- oder Ausbringungsmenge verändert. Sie stellt damit den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den dafür anfallenden Kosten mathematisch dar. Mithilfe einer Kostenfunktion kannst du beispielsweise untersuchen, wie hoch die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge sind oder wie sich zusätzliche Einheiten auf die Kosten auswirken. Dabei wird grundsätzlich zwischen fixen und variablen Kosten unterschieden. Fixe Kosten fallen innerhalb eines bestimmten Beschäftigungsbereichs unabhängig von der produzierten Menge an, während variable Kosten von der Ausbringungsmenge abhängen. Zusammen ergeben beide Bestandteile die Gesamtkosten.

Fixe Kosten entstehen auch dann, wenn vorübergehend nichts produziert wird. Dazu können beispielsweise Mieten, feste Grundgebühren oder bestimmte Versicherungsbeiträge gehören. Sie werden deshalb auch als Kosten der Betriebsbereitschaft bezeichnet. Allerdings bedeutet „fix“ nicht, dass diese Kosten für immer unverändert bleiben. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums und Beschäftigungsbereichs reagieren sie lediglich nicht unmittelbar auf Änderungen der Produktionsmenge.

Variable Kosten verändern sich dagegen mit der Ausbringungsmenge. Werden mehr Produkte hergestellt, können beispielsweise zusätzliche Rohstoffe, Verpackungen oder andere mengenabhängige Produktionsmittel benötigt werden. Die gesamten variablen Kosten ergeben sich bei einem proportionalen Verlauf aus den variablen Stückkosten multipliziert mit der produzierten Menge.

Damit gilt grundsätzlich:

Gesamtkosten = fixe Kosten + variable Kosten

In einer Kostenfunktion wird die Ausbringungsmenge häufig mit x und die Gesamtkosten mit K(x) bezeichnet.

Eine einfache lineare Funktion besitzt allgemein die Form:

y = m · x + b

Diese mathematische Grundform lässt sich auf eine lineare Kostenfunktion übertragen. Bei konstanten variablen Stückkosten lautet sie:

K(x) = KF + kv · x

Dabei bedeutet:

K(x) = Gesamtkosten bei der Menge x
KF = fixe Kosten
kv = variable Kosten je Stück
x = Ausbringungsmenge

Die fixen Kosten entsprechen dem Ausgangswert der Funktion. Selbst wenn die Ausbringungsmenge x = 0 beträgt, entstehen deshalb bereits Kosten in Höhe von KF. Die variablen Stückkosten bestimmen dagegen, um welchen Betrag die Gesamtkosten bei jeder zusätzlich produzierten Einheit steigen.

Bei einer linearen Kostenfunktion sind die variablen Stückkosten konstant. Steigt die Ausbringungsmenge um eine Einheit, steigen die Gesamtkosten daher jedes Mal um denselben Betrag. Die Gesamtkosten verlaufen in diesem Fall als Gerade.

Kostenfunktionen können nicht nur mathematisch berechnet, sondern auch grafisch dargestellt werden. Auf der waagerechten Achse, der x-Achse, steht die Ausbringungsmenge. Auf der senkrechten Achse, der y-Achse, werden die Kosten dargestellt.

Bei einer linearen Kostenfunktion beginnt die Gesamtkostenlinie nicht bei null, wenn fixe Kosten vorhanden sind. Ihr Ausgangspunkt auf der Kostenachse entspricht den fixen Kosten. Die Steigung der Geraden wird durch die variablen Stückkosten bestimmt. Je höher diese sind, desto steiler steigt die Gesamtkostenlinie an.

Zur Vorbereitung einer grafischen Darstellung kann eine Wertetabelle verwendet werden. Dafür werden verschiedene Produktionsmengen in die Kostenfunktion eingesetzt und die jeweiligen Gesamtkosten berechnet. Die so ermittelten Werte können anschließend in ein Koordinatensystem übertragen werden. Dadurch wird sichtbar, wie sich die Kosten bei steigender Ausbringungsmenge entwickeln.

Neben den Gesamtkosten sind auch die Stückkosten wichtig. Sie zeigen, wie viele Kosten durchschnittlich auf eine produzierte Einheit entfallen. Berechnet werden sie, indem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge geteilt werden:

k(x) = K(x) / x

Bei einer linearen Gesamtkostenfunktion mit Fixkosten ergibt sich:

k(x) = KF / x + kv

Mit zunehmender Ausbringungsmenge verteilen sich die fixen Kosten auf immer mehr Einheiten. Dadurch sinkt der Fixkostenanteil je Stück. Dieser Effekt wird als Fixkostendegression bezeichnet.

Wichtig ist die Unterscheidung: Wenn die Stückkosten aufgrund der Verteilung der Fixkosten sinken, bedeutet das nicht, dass die Gesamtkostenfunktion automatisch degressiv verläuft. Bei konstanten variablen Stückkosten steigen die Gesamtkosten weiterhin linear. Lediglich die durchschnittlichen Kosten je Einheit sinken.

Mit steigender Menge nähern sich die Stückkosten bei dieser einfachen linearen Kostenfunktion immer stärker den variablen Stückkosten an, weil der Fixkostenanteil je Einheit immer kleiner wird.

Kosten müssen nicht immer linear verlaufen. Je nachdem, wie stark sich die Kosten im Verhältnis zur Ausbringungsmenge verändern, können unterschiedliche Kostenverläufe unterschieden werden.

Bei einem linearen beziehungsweise proportionalen Kostenverlauf steigen die variablen Kosten im gleichen Verhältnis wie die Ausbringungsmenge. Jede zusätzliche Einheit verursacht den gleichen zusätzlichen variablen Kostenbetrag.

Bei einem degressiven Kostenverlauf steigen die Gesamtkosten mit zunehmender Ausbringungsmenge unterproportional. Die Kosten nehmen also weiter zu, aber immer langsamer. Ursachen können beispielsweise günstigere Beschaffungskonditionen bei größeren Mengen, effizientere Produktionsabläufe oder eine bessere Auslastung vorhandener Kapazitäten sein.

Bei einem progressiven Kostenverlauf steigen die Kosten dagegen überproportional. Jede zusätzliche Produktionssteigerung führt zu immer höheren zusätzlichen Kosten. Das kann beispielsweise auftreten, wenn Kapazitätsgrenzen erreicht werden, zusätzliche Schichten notwendig sind oder Überstunden und Zuschläge anfallen.

Damit gilt:

• linear → Kosten steigen proportional

• degressiv → Kosten steigen unterproportional

• progressiv → Kosten steigen überproportional

Die Bezeichnungen beziehen sich dabei auf den Verlauf der betrachteten Kostenfunktion und dürfen nicht mit der Fixkostendegression der Stückkosten verwechselt werden.

Kostenfunktionen helfen dir dabei, Kosten nicht nur als einzelne Beträge zu betrachten, sondern ihre Entwicklung bei unterschiedlichen Produktionsmengen zu verstehen. Besonders wichtig ist die Trennung zwischen Gesamtkosten, fixen Kosten, variablen Kosten und Stückkosten. Bei einer linearen Kostenfunktion bestehen die Gesamtkosten aus konstanten Fixkosten und proportional zur Menge steigenden variablen Kosten.

Die grafische Darstellung macht sichtbar, wie stark die Kosten bei zunehmender Ausbringungsmenge steigen. Gleichzeitig zeigt die Berechnung der Stückkosten, wie sich fixe Kosten auf eine größere Produktionsmenge verteilen. Bei nicht linearen Kostenfunktionen können die Gesamtkosten dagegen degressiv oder progressiv verlaufen. Diese Zusammenhänge bilden eine wichtige Grundlage für weitere Themen der Kosten- und Leistungsrechnung, beispielsweise Kostenplanung, Kalkulation und Wirtschaftlichkeitsanalysen.

Welche Aussage zur Kostenfunktion im betriebswirtschaftlichen Sinn ist richtig?

A. Eine Kostenfunktion zeigt ausschließlich die Höhe der fixen Kosten eines Unternehmens.
B. Eine Kostenfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen den Kosten und einer Bezugsgröße, beispielsweise der Ausbringungsmenge.
C. Bei jeder linearen Kostenfunktion bleiben die gesamten Stückkosten unabhängig von der Ausbringungsmenge gleich.
D. Eine degressive Kostenfunktion bedeutet, dass die Gesamtkosten mit steigender Ausbringungsmenge sinken.
E. Bei einer progressiven Kostenfunktion bleiben die zusätzlichen Kosten jeder weiteren Einheit konstant.

Welche Aussage zu den Stückkosten ist richtig?

A. Stückkosten ergeben sich, indem die Gesamtkosten durch die Ausbringungsmenge geteilt werden.
B. Stückkosten entsprechen immer den variablen Kosten je Stück.
C. Stückkosten bleiben unabhängig von der Ausbringungsmenge immer gleich.
D. Stückkosten berechnen sich aus den Fixkosten multipliziert mit der Ausbringungsmenge.
E. Stückkosten können nur berechnet werden, wenn keine Fixkosten vorhanden sind.

Welche Aussage zur allgemeinen linearen Kostenfunktion ist richtig?

A. Die allgemeine Form lautet: K(x) = Kf + kv · x.
B. Die allgemeine Form lautet: k(x) = Kf + kv · x.
C. Bei einer linearen Kostenfunktion steigen die variablen Kosten überproportional zur Ausbringungsmenge.
D. Bei einer linearen Kostenfunktion verändern sich die variablen Stückkosten mit jeder zusätzlich produzierten Einheit.
E. Bei einer linearen Kostenfunktion entstehen keine fixen Kosten.

Folgende Kostenfunktion ist gegeben:

K(x) = 500 + 10x

Wie hoch sind die Gesamtkosten bei einer Ausbringungsmenge von 100 Stück?

A. 500 €
B. 700 €
C. 1.000 €
D. 1.500 €
E. 2.000 €

Was wird unter Fixkostendegression verstanden?

A. Mit zunehmender Ausbringungsmenge sinken die gesamten Fixkosten des Unternehmens.
B. Mit zunehmender Ausbringungsmenge steigen die fixen Kosten je Stück.
C. Die gesamten Fixkosten werden auf eine größere Ausbringungsmenge verteilt, sodass die fixen Kosten je Stück sinken.
D. Fixkostendegression bedeutet, dass die variablen Kosten je Stück automatisch sinken.
E. Fixkostendegression entsteht, weil die Fixkosten bei steigender Ausbringungsmenge auf weniger Produkte verteilt werden.